Ecuación de la recta

2. Linea Recta

En la ecuación y=mx + b, la constante m recibe el nombre de pendiente de la recta e indica la inclinacion de esta con respecto al eje positivo de las x.

La pendiente de la recta que pasa por los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) se halla mediante la expresión

, con x1 # x2

:

La pendiente se puede interpretar como la razón de incremento vertical con respecto al incremento horizontal de la recta,

tomado de: https://sites.google.com/site/geometriaanaliticasmec3/ecuacion-punto-pendiente

Es importante entender que como mayor es el valor del pendiente m, mayor inclinación respecto el eje horizontal posee la recta. Además,
El signo de la pendiente de una recta depende del angulo de inclinacion de la recta con respecto al eje x. De acuerdo con esto se pueden presentar 4 casos: 

1.  la recta es creciente si la pendiente es positiva si m>0.
2.  la recta es decreciente si la pendiente es negativa si m<0.
3. la recta es horizontal si su pendiente es cero, en ese caso, la expresion algebraica seria y=b, donde b es una constante.
4. la pendiente de una recta vertical no esta definida, en este caso, la expresion algebraica sera x=c, donde c es una constante.

Ecuación explicita de la recta

La ecuación de la forma y=mx+b, es denominada ecuación explicita de la recta, en esta ecuación se toma la variable x como independiente, y la variable y se expresa en función de esta, es decir, para graficar una recta o obtener puntos que hagan parte de esta le asignamos un valor a x y hallamos el valor correspondiente en y. En esta ecuación m es la pendiente de la recta  y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado termino independiente el cual gráficamente es el corte con el eje y. En resumen la ecuación explicita de la recta está dada por: En la determinación de la ecuación explicita de una recta se pueden presentar dos casos. Caso 1 Cuando se conoce la pendiente y un punto de la recta Cuando se conoce la pendiente y un punto de la recta basta reemplazar dichos valores en la ecuación punto-pendiente Ecuación punto-pendiente Conocida la pendiente y un punto de la recta.  La ecuación de la recta se halla como Ejemplo 1 Determinar la ecuación explicita de la recta que pasa por el punto A(-3,1) y cuya pendiente es m=3. Solución Dado que m=3 y  (x1, y1) = (-3,1) al reemplazar los valores conocidos en la ecuación punto-pendiente Para Finalizar Llevamos la ecuación anterior a la forma explícita de la recta y=mx+b Ejemplo 2 Hallar la ecuación explicita  de la recta que pasa por el punto A(4,-2) y cuya pendiente es m = -2.  Realizar la gráfica. Solución Identificamos las variables conocidas  m=-2    y  (x1, y1) = (4,-2),   es decir x1=4  y  y1=-2 Reemplazamos estos valores en la ecuación punto-pendiente Finalmente llevamos la ecuación anterior a la forma explícita de la recta y=mx+b Para recordar: Cuando tenemos una recta en la forma explícita se determinan dos variables automáticamente, la pendiente m y el corte con el eje y  es decir la coordenada (0,b). En la ecuación de la recta  y = -2x+6, al compararla con la ecuación explicita de la recta  y=mx+b identificamos que la pendiente de esta recta es m=-2, y que  el corte con el eje y ocurre en la coordenada (0,b), es decir (0,6).

El punto (3,0) o punto de corte de la recta con el eje x, se determinó a partir de la ecuación de la recta y=-2x+6, haciendo y=0 y despejando x, es decir:

El resumen de los puntos que se graficaron se presentan en la siguiente tabla de valores

x	0	3
y	6	0

Caso 2  

se conocen dos puntos que pertenecen a la recta.

Cuando se conocen dos puntos diferentes que pertenecen a la recta, primero se halla la pendiente de dicha recta mediante la expresion:

Luego se procede como en el caso 1, es decir se reemplaza m y las coordenadas de cualquiera de los puntos conocidos en la ecuación punto-pendiente

Ejemplo 3

Hallar la ecuación explicita de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(3,5) y graficarla.

1.    Solución

1. Identificamos las coordenadas  (x₁, y₁) = (1,2)    y    (x₂, y₂)= (3,5)

Es decir: 

x₁=1 ,   y₁ = 2    y    x₂=3,  y₂=5

2.  Calculamos la pendiente de la recta.

3.  Reemplazamos la pendiente y uno de los puntos en la ecuación punto-pendiente

Con el punto A(1,2)

Lo anterior lo resumimos en la siguiente tabla de valores, para proceder a construir la gráfica.