Función Lineal

Función lineal

Introducción: Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el codominio.

Definición: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

Toda función de la forma y=mx, donde m es una constante diferente de cero es una función lineal.

Ejemplos:  a(x) = 2x   ,     b(x) = -4x     f(x) =  -2x ,  Y= 4x

La representación gráfica de una función lineal en el plano cartesiano es una linea recta no vertical que pasa por el origen.

Las funciones lineales son polinomios de primer grado.   

Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1.

Tambien recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma explicita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso.

Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que 
f(x)= 2x, anotaremos  f: R ——-> R / f(x) = 2x Siendo el dominio todos los números  reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R.

Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x"

Vamos a graficar esta función, que tal cual lo vimos en la definición, es una función lineal por ser de primer grado.  Para graficarla haremos una tabla de valores.

f: R ——> R / f(x) = 2x

Le vamos dando valores a "x".   ¿Que valores le podemos dar?  Cualquiera que este dentro del dominio.  

Por ejemplo, si x = 5 , entonces f(x) pasa a ser f(5), que es f(5) = 2.(5)        f(5) = 10

Entonces al 5 le corresponde el 4.   Nuestro punto es el (5,10).  
Si x=-2,  entonces f(x) pasa a ser f(-2), que es f(-2) = 2.(-2)        f(-2) = -4
Entonces al -2 le corresponde el .4.   Nuestro punto es el (-2,-4).

¿Cómo se coloca en un par de ejes coordenados?       ¿Que tal si repasamos esto?

hagamos lo con Geogebra en el ejemplo anterior se encontraron dos puntos, ingresemos a Geogebra y ubicamos los 2 puntos y luego trazamos la recta que pasa por esos dos puntos y miremos que gráfica nos da. Empieza por dar clic en el siguiente link:

Geogebraweb

si te quedo bien demos haber obtenido una gráfica como esta,

f: R —> R  /  f(x) = m.x

Una función lineal cumple además, que el incremento de los valores de los elementos del dominio es  proporcional   al incremento de los valores en el codominio, siempre que m  no sea cero.

Este número m se llama pendiente o coeficiente angular de la recta.

Es importante entender que como mayor es el valor del pendiente m, mayor inclinación respecto el eje horizontal posee la recta. Además,

• Si m es positivo (m>0), la recta pasa por el primer y por el tercer cuadrantes.
• Si m es negativo (m<0), la recta pasa por el segundo y cuarto cuadrantes.
• Si m es cero (m=0), la recta es horizontal y coincide con el eje de abscisas.

El pendiente de una recta también puede ser calculado a partir de las coordenadas de un punto de la recta para una función lineal, y de las coordenadas de dos puntos en general para una recta cualquiera.

Veamos la manera general ya que nos servirá también para las funciones afines:

Dados dos puntos de una recta (sea una función lineal o afín), (x1,y1) y (x2,y2), podemos calcular el pendiente de dicha recta mediante la expresión:

Ejemplo

Dada la siguiente recta que pasa por el punto (2,−1):

podemos calcular el pendiente, ya que además del punto A, sabemos que pasa por el origen. Así, aplicando la fórmula:

Graficar la función anterior en Geogebra